全国各地2016年中考数学试题分类汇编(第2期)专题41 阅读理解、图表信息(含解析)

[ 作者:未知 文章来源:本站整理 更新时间:2016-8-31 6:54:12| 收藏本文 ]
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阅读理解、图表信息(包括新定义,新运算)
选择题
1. (2016·四川宜宾)规定:logab(a>0,a≠1,b>0)表示a,b之间的一种运算.
现有如下的运算法则:lognan=n.logNM=(a>0,a≠1,N>0,N≠1,M>0).
例如:log223=3,log25=,则log1001000=  .
【考点】实数的运算.
【分析】先根据logNM=(a>0,a≠1,N>0,N≠1,M>0)将所求式子化成以10为底的对数形式,再利用公式进行计算.
【解答】解:log1001000===.
故答案为:.
2. (2016·浙江省湖州市·3分)定义:若点P(a,b)在函数y=的图象上,将以a为二次项系数,b为一次项系数构造的二次函数y=ax2 bx称为函数y=的一个“派生函数”.例如:点(2,)在函数y=的图象上,则函数y=2x2 称为函数y=的一个“派生函数”.现给出以下两个命题:
(1)存在函数y=的一个“派生函数”,其图象的对称轴在y轴的右侧
(2)函数y=的所有“派生函数”,的图象都进过同一点,下列判断正确的是(  )
A.命题(1)与命题(2)都是真命题
B.命题(1)与命题(2)都是假命题
C.命题(1)是假命题,命题(2)是真命题
D.命题(1)是真命题,命题(2)是假命题
【考点】命题与定理.
【分析】(1)根据二次函数y=ax2 bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧,a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断.
(2)根据“派生函数”y=ax2 bx,x=0时,y=0,经过原点,不能得出结论.
【解答】解:(1)P(a,b)在y=上,
a和b同号,所以对称轴在y轴左侧,
存在函数y=的一个“派生函数”,其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题.
(2)函数y=的所有“派生函数”为y=ax2 bx,
x=0时,y=0,
所有“派生函数”为y=ax2 bx经过原点,
函数y=的所有“派生函数”,的图象都进过同一点,是真命题.
故选C.

3. (2016·浙江省绍兴市·4分)我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满七进一,用来记录孩子自出生后的天数,由图可知,孩子自出生后的天数是(  )

A.84 B.336 C.510 D.1326
【考点】用数字表示事件.
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”,可以表示满七进一的数为:千位上的数×73 百位上的数×72 十位上的数×7 个位上的数.
【解答】解:1×73 3×72 2×7 6=510,
故选C.
解答题
1. (2016·江西·10分)如图,将正n边形绕点A顺时针旋转60°后,发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AO,我们称AO为“叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后,交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称OAB为“叠弦角”,AOP为“叠弦三角形”.
【探究证明】
(1)请在图1和图2中选择其中一个证明:“叠弦三角形”(AOP)是等边三角形;
(2)如图2,求证:OAB=∠OAE′.
【归纳猜想】
(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为 15° , 24° ;
(4)图n中,“叠弦三角形” 是 等边三角形(填“是”或“不是”)
(5)图n中,“叠弦角”的度数为 60°﹣\frac{180°}{n} (用含n的式子表示)

【考点】几何变换综合题.
【分析】(1)先由旋转的性质,再判断出APD≌△AOD',最后用旋转角计算即可;
(2)先判断出RtAEM≌Rt△ABN,在判断出RtAPM≌Rt△AON 即可;
(3)先判断出AD′O≌△ABO,再利用正方形,正五边形的性质和旋转的性质,计算即可;
(4)先判断出APF≌△AE′F′,再用旋转角为60°,从而得出PAO是等边三角形;
(5)用(3)的方法求出正n边形的,“叠弦角”的度数.
【解答】解:(1)如图1,

∵四ABCD是正方形,
由旋转知:AD=AD',∠D=∠D'=90°,∠DAD'=∠OAP=60°,
∴∠DAP=∠D'AO,
∴△APD≌△AOD'(ASA)
∴AP=AO,
∵∠OAP=60°,
∴△AOP是等边三角形,
(2)如图2,

作AM⊥DE于M,作AN⊥CB于N.
∵五ABCDE是正五边形,
由旋转知:AE=AE',∠E=∠E'=108°,∠EAE'=∠OAP=60°
∴∠EAP=∠E'AO
∴△APE≌△AOE'(ASA)
∴∠OAE'=∠PAE.
在Rt△AEM和Rt△ABN中,∠AEM=∠ABN=72°,AE=AB
∴Rt△AEM≌Rt△ABN (AAS),
∴∠EAM=∠BAN,AM=AN.
在Rt△APM和Rt△AON中,AP=AO,AM=AN
∴Rt△APM≌Rt△AON (HL).
∴∠PAM=∠OAN,
∴∠PAE=∠OAB
∴∠OAE'=∠OAB (等量代换).
(3)由(1)有,△APD≌△AOD',
∴∠DAP=∠D′AO,
在△AD′O和△ABO中,

∴△AD′O≌△ABO,
∴∠D′AO=∠BAO,
由旋转得,∠DAD′=60°,
∵∠DAB=90°,
∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°,
∴∠D′AD=∠D′AB=15°,
同理可得,∠E′AO=24°,
故答案为:15°,24°.
(4)如图3,

∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形,
∴∠F=F′=120°,
由旋转得,AF=AF′,EF=E′F′,
∴△APF≌△AE′F′,
∴∠PAF=∠E′AF′,
由旋转得,∠FAF′=60°,AP=AO
∴∠PAO=∠FAO=60°,
∴△PAO是等边三角形.
故答案为:是
(5)同(3)的方法得,∠OAB=[(n﹣2)×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣
故答案:60°﹣.
2. (2016·重庆市A卷·10分)我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解.并规定:F(n)=.例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12﹣1>6﹣2>4﹣3,所有3×4是12的最佳分解,所以F(12)=.
(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数.求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;
(2)如果一个两位正整数t,t=10x y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.
【分析】(1)根据题意可设m=n2,由最佳分解定义可得F(m)==1;
(2)根据“吉祥数”定义知(10y x)﹣(10x y)=18,即y=x 2,结合x的范围可得2位数的“吉祥数”,求出每个“吉祥数”的F(t),比较后可得最大值.
【解答】解:(1)对任意一个完全平方数m,设m=n2(n为正整数),
∵|n﹣n|=0,
∴n×n是m的最佳分解,
∴对任意一个完全平方数m,总有F(m)==1;

(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′,则t′=10y x,
∵t为“吉祥数”,
∴t′﹣t=(10y x)﹣(10x y)=9(y﹣x)=18,
∴y=x 2,
∵1≤x≤y≤9,x,y为自然数,
∴“吉祥数”有:13,24,35,46,57,68,79,
∴F(13)=,F(24)==,F(35)=,F(46)=,F(57)=,F(68)=,F(79)=,
∵>>>>>,
∴所有“吉祥数”中,F(t)的最大值是.
【点评】本题主要考查实数的运算,理解最佳分解、“吉祥数”的定义,并将其转化为实数的运算是解题的关键.
3. (2016·重庆市B卷·10分)我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解.并规定:F(n)=.例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12﹣1>6﹣2>4﹣3,所有3×4是12的最佳分解,所以F(12)=.
(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数.求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;
(2)如果一个两位正整数t,t=10x y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.
【考点】实数的运算.
【专题】新定义.
【分析】(1)根据题意可设m=n2,由最佳分解定义可得F(m)==1;
(2)根据“吉祥数”定义知(10y x)﹣(10x y)=18,即y=x 2,结合x的范围可得2位数的“吉祥数”,求出每个“吉祥数”的F(t),比较后可得最大值.
【解答】解:(1)对任意一个完全平方数m,设m=n2(n为正整数),
∵|n﹣n|=0,
∴n×n是m的最佳分解,
∴对任意一个完全平方数m,总有F(m)==1;

(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′,则t′=10y x,
∵t为“吉祥数”,
∴t′﹣t=(10y x)﹣(10x y)=9(y﹣x)=18,
∴y=x 2,
∵1≤x≤y≤9,x,y为自然数,
∴“吉祥数”有:13,24,35,46,57,68,79,
∴F(13)=,F(24)==,F(35)=,F(46)=,F(57)=,F(68)=,F(79)=,
∵>>>>>,
∴所有“吉祥数”中,F(t)的最大值是.
【点评】本题主要考查实数的运算,理解最佳分解、“吉祥数”的定义,并将其转化为实数的运算是解题的关键.
4.(2016·山东省济宁市·3分)已知点P(x0,y0)和直线y=kx b,则点P到直线y=kx b的距离证明可用公式d=计算.
例如:求点P(﹣1,2)到直线y=3x 7的距离.
解:因为直线y=3x 7,其中k=3,b=7.
所以点P(﹣1,2)到直线y=3x 7的距离为:d====.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)求点P(1,﹣1)到直线y=x﹣1的距离;
(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0,5),半径r为2,判断⊙Q与直线y=x 9的位置关系并说明理由;
(3)已知直线y=﹣2x 4与y=﹣2x﹣6平行,求这两条直线之间的距离.
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)根据点P到直线y=kx b的距离公式直接计算即可;
(2)先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y=x 9,然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线y=x 9相切;
(3)利用两平行线间的距离定义,在直线y=﹣2x 4上任意取一点,然后计算这个点到直线y=﹣2x﹣6的距离即可.
【解答】解:(1)因为直线y=x﹣1,其中k=1,b=﹣1,
所以点P(1,﹣1)到直线y=x﹣1的距离为:d====;
(2)⊙Q与直线y=x 9的位置关系为相切.
理由如下:
圆心Q(0,5)到直线y=x 9的距离为:d===2,
而⊙O的半径r为2,即d=r,
所以⊙Q与直线y=x 9相切;
(3)当x=0时,y=﹣2x 4=4,即点(0,4)在直线y=﹣2x 4,
因为点(0,4)到直线y=﹣2x﹣6的距离为:d===2,
因为直线y=﹣2x 4与y=﹣2x﹣6平行,
所以这两条直线之间的距离为2.


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